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전기장이 공간에서 어떻게 분포하는지를 이해하는 것은 전자기학의 핵심적인 문제 중 하나입니다. 가우스 법칙은 이러한 문제를 해결하는 데 있어 강력한 도구이며, 이는 전기장의 발산(divergence)이 공간상의 전하 분포와 직접적으로 연관되어 있음을 설명합니다. 가우스 법칙은 맥스웰 방정식의 네 가지 기본 방정식 중 하나로, 전기장의 성질을 이해하는 데 필수적인 역할을 하게 됩니다.
1.1 가우스 법칙의 공식
가우스 법칙은 미분 형식과 적분 형식으로 기술될 수 있으며, 이는 각각 국소적(local) 및 전역적(global) 관점에서 전기장의 분포를 설명하는 데 활용됩니다. 먼저, 미분형 가우스 법칙입니다.
미분형 표현
이 식은 공간상의 특정 점에서 전기장의 발산이 전하 밀도와 비례함을 나타내며, 이는 전기장의 근원이 국소적인 전하 분포라는 사실을 의미합니다.
적분형 표현
이는 가우스 폐곡면 내부의 총 전속(flux)이 내부의 총 전하량과 비례함을 나타내며, 특정 대칭성을 가진 문제에서 강력한 해법을 제공합니다. 아래 2번째 항에서 몇가지 사례를 들어 계산해보도록 하겠습니다.
그림 1. 가우스 법칙 적분형 개념도
핵심 개념:
가우스 폐곡면 내의 전기선속의 합은 전하량을 유전율로 나눈 값과 같으며, 이는 전기장의 근원을 분석하는 중요한 도구가 된다.
높은 대칭성을 가지는 시스템에서 매우 효과적인 계산 도구로 사용할 수 있다.
2. 가우스 법칙의 응용: 대칭적 전기장 계산
2.1 구 대칭 전하에서의 전기장 유도
점전하 Q 가 구의 중심에 놓여 있을 때, 전기장의 방향은 대칭성을 띠며, 폐곡면을 구 형태로 설정하면 가우스 법칙을 쉽게 적용할 수 있다.
계산 과정:
그림2. 가우스 법칙 예제 1
결론:
전기장은 거리의 제곱에 반비례하며, 이는 쿨롱의 법칙과 일치한다.
전기력선은 방사형(radial)으로 퍼져나간다.
2.2 원통 대칭 전기장 계산 (무한 도선)
무한히 긴 도선은 원통형 대칭을 가지므로, 가우스 폐곡면을 원통으로 설정하면 간단한 해를 얻을 수 있다.
계산 과정:
그림 3. 가우스 법칙 예제 2
결론:
전기장은 반지름 r 에 반비례하는 형태를 띤다.
원통형 대칭이 존재하는 경우 매우 효과적인 방법이 된다.
3. 전기선속(Electric Flux)과 전기장의 관계
선속(flux)은 특정 면적을 통과하는 물리량의 흐름을 의미하며, 가우스 법칙을 적용하는 데 있어 중요한 개념입니다.
전자기학에서는 Flux의 개념을 Electric Flux로 확장하여 전기선속, 즉 전속으로 가져와 활용하게 됩니다.
그림 4. Flux 개념도
물리적 의미:
전기력선이 면적을 통과하는 정도를 나타냄.
전속은 전기장의 세기와 방향성에 따라 변화한다.
폐곡면 내부에 전하가 존재하지 않으면 전속은 0이 된다.
4. 전기장에서의 일과 에너지 저장
4.1 전기장에서의 일(Work) 계산
전하가 전기장 내에서 이동할 때, 전기장은 전하에 힘을 가하여 일을 하게 됩니다. 이때, 전기적 위치 에너지의 개념이 등장하는데요. 전기적 위치에너지는 전기장 내에서의 공간적 위치의 차이에 의해 발생하게 됩니다.
그리고, 일(Work)은 이러한 전기적 위치에너지가 변하는 만큼 필요하게 됩니다.
그림 5. 전기적 일 개념도
전기적 일 공식:
특히 균일한 전기장에서:
핵심 포인트:
전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하는 과정에서 전기장이 일을 수행함.
에너지는 보존되며, 전기적 퍼텐셜 차이를 통해 일의 크기를 결정할 수 있음.
4.2 전기 에너지 밀도 개념
전기장은 공간에 에너지를 저장할 수 있으며, 이는 전기장의 세기에 따라 변합니다.
전기 에너지 밀도 공식:
전기퍼텐셜 에너지 vs 중력퍼텐셜 에너지
퍼텐셜 에너지는 Flux의 분포를 바탕으로 3차원 공간의 위치에 따라 정의되는 에너지입니다.
양자장론에 따르면 입자가 하나 존재하게 되면, 그 입자는 Field, 즉 하나의 물리량의 흐름인 flux를 형성하게 되는데 그러한 물리량이 공간을 따라 퍼져가게 되고, 물리량의 분포가 공간의 위치에 따라 달라지기에 발생하는 차이가 바로 퍼텐셜 에너지 입니다.
따라서, 중력퍼텐셜 에너지는 물질이 갖는 질량에 의해 생기는 중력장(Gravity field)의 공간적 분포의 차이를 나타낸 것이고, 전기퍼텐셜 에너지는 전하가 갖는 전하량에 의해 생기는 전기장(Electric field)의 공간적 분포의 차이를 나타낸 것입니다.
그런데 여기서 하나 의문이 생깁니다.
중력퍼텐셜 에너지의 식은 아래와 같습니다.
그런데, 전기퍼텐셜 에너지의 식은 다음과 같이 표현됩니다.
둘 모두 퍼텐셜 에너지라는 같은 공간적 분포의 차이임에도 전기퍼텐셜 에너지는 1/2라는 계수를 갖고 있습니다.
왜 그렇게 될까요?
그 이유는 전하는 양전하와 음전하로 구분되기에 field를 생성하는 source의 공간적 분포를 계산할 때 평균 전하량으로 계산을 해야하기 때문입니다.
하지만 질량은 항상 양수이기에 source가 여러개라 하더라도 더하기만 하면 됩니다.
아래는 이를 설명한 이미지입니다.
이번 포스팅에서는 가우스 법칙과 전기장에서 전하가 하는 일, 그리고 전기 에너지에 대해 알아보았습니다.
