다중극 전개: 왜 하필 르장드르 다항식일까?

자연계에서 구면 좌표계를 사용해야 하는 문제들은 많습니다. 전기장, 중력장, 양자역학에서 핵심적으로 사용되는 르장드르 다항식(Legendre Polynomials)은 이러한 문제들을 해결하는 중요한 도구입니다. 특히 다중극 전개(Multipole Expansion)에서 필수적으로 등장하는데, 왜 르장드르 다항식이 중요한지 살펴보겠습니다.

1. 르장드르 다항식이란?

(1) 정의

르장드르 다항식은 다음과 같은 르장드르 미분 방정식(Legendre Differential Equation)을 만족하는 함수입니다.
$$ (1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0$$
이 방정식의 해 중 n이 자연수(0, 1, 2, ...)일 때, 다항식 형태의 해가 르장드르 다항식입니다.

(2) 생성 방법: 로드리게스 공식(Rodrigues' Formula)

르장드르 다항식은 다음 공식으로 표현할 수 있습니다.
$$P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}((x^2-1)^n)$$
이를 통해 몇 가지 저차수 르장드르 다항식을 구할 수 있습니다.

• $$P_0(x)=1$$
• $$P_1(x)=x$$
• $$P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 - 1)$$
• $$P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 - 3x)$$

2. 르장드르 다항식의 특성

(1) 직교성(Orthogonality)

르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 직교성을 만족합니다.
$$\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) dx = 0 \quad (m \neq n)$$
이는 다중극 전개에서 전위의 개별 성분을 독립적으로 분석할 수 있게 해줍니다.
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특히, 다중극 전개는 전하 분포에 대한 전위를 고려하는 상황이니만큼 구좌표계를 도입하여 방위각에 대해 고려하여야 하는데, COS(theta)를 사용하게 되므로 그 범위가 [-1,1]입니다.
즉, 해당 구간에서 직교성을 갖는다면 n차수에 따른 독립적인 개별항을 얻게 되며, 이는 개별 성분을 독립적으로 해석할 수 있는 장점을 가져갈 수 있습니다.

 

(직교성에 대해 자세히 알고 싶으시면 아래 포스팅을 참고하세요)

함수의 내적과 직교성, 푸리에 급수

 

(2) 재귀 관계(Recurrence Relation)

재귀 관계를 이용하면 높은 차수의 다항식을 낮은 차수 다항식에서 쉽게 계산할 수 있습니다.
$$(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1)x P_n(x) - n P_{n-1}(x)$$

(3) 가중치 함수

마지막으로 르장드르 다항식의 가중치 함수는 상수 형태를 갖습니다.

다시말해, 구좌표계의 방위각으로 구성된 적분구간(정의역)의 가중치가 일정하다는 물리적 의미를 내포합니다.

즉, 중심축을 기준으로 360도 회전을 하면서 적분할 때, 그 가중치를 일정하게 적분한다는 뜻입니다.

이는 구좌표계 적분의 의미와 상통하므로 가중치 함수가 일정한 '르장드르 함수'를 사용하는 것이 물리적으로 옳습니다.

3. 다중극 전개에서 르장드르 다항식의 역할

(1) 다중극 전개란?

다중극 전개는 전하 분포에서 먼 거리에서 전위를 근사하는 방법입니다. 기본 전위 식은 다음과 같습니다.
$$V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} dV'$$
멀리 떨어진 경우에는 거리 r과 관련된 항을 근사해야 하는데, 이때 르장드르 다항식이 등장합니다.

(2) 르장드르 다항식이 등장하는 이유

$$\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{r'}{r} \right)^n P_n(\cos\theta)$$
이렇게 전위가 르장드르 다항식으로 전개되는 이유는 다음과 같습니다.

 

일반적으로, 두 벡터 사이의 거리 역수는 아래와 같은 스칼라 함수로 나타낼 수 있습니다.

$$\frac{1}{\sqrt{r^2 + r'^2 - 2rr' \cos\theta}}$$​

이때, 르장드르 다항식 Pn(cos⁡θ)이 등장하는 이유는 이 표현을 다항식으로 전개할 때, 각도 θ에 대해 직교하는 함수들이 필요하기 때문입니다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같은 르장드르 급수 전개가 가능합니다.

$$\frac{1}{\sqrt{r^2 + r'^2 - 2rr' \cos\theta}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{r'}{r}\right)^n P_n(\cos\theta)$$

여기서 르장드르 다항식 Pn(cos⁡θ)은 방위각에 대한 항을 정리하는 역할을 하게 됩니다.

즉, 직교성을 가진 다항식을 활용하여 방위각에 대한 벡터 성분을 없애는 것입니다.

거기에다 방위각에 대한 가중치를 상수로 갖는 다항식을 쓰려면, 르장드르 다항식 뿐입니다.

(3) 다중극 항들의 의미

$$\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} = \frac{1}{r} P_0(\cos\theta) + \frac{r'}{r^2} P_1(\cos\theta) + \frac{r'^2}{r^3} P_2(\cos\theta) + \dots$$

• 홀극자 항(P0): 총 전하량(Q)이 만드는 전위, 1/r에 비례
• 쌍극자 항(P1): 전하의 비대칭성(쌍극자 모멘트 P)을 반영, 1/r^2에 비례
• 사극자 항(P2): 더 복잡한 전하 분포(사극자 모멘트 Qij), 1/r^3에 비례

멀리 떨어진 경우, 고차 항들은 무시할 수 있으며, 대부분의 전위를 쌍극자 모멘트까지의 근사로 표현할 수 있습니다.

4. 다른 다항식으로 풀 수 있을까?

다중극 전개에서 르장드르 다항식이 아닌 다른 다항식을 고려해보면, 다음과 같은 이유로 적합하지 않습니다.

(1) 체비쇼프 다항식(Chebyshev Polynomials, Tn(x))

체비쇼프 다항식은 다음과 같은 재귀 관계를 가집니다.
$$\quad T_0(x) = 1$$
$$\quad T_1(x) = x$$
$$\quad T_2(x) = 2x^2 - 1$$
$$\quad T_3(x) = 4x^3 - 3x$$

• 사용 가능성: 체비쇼프 다항식도 르장드르 다항식처럼 정규 직교성을 가지므로, 구간 [−1,1]에서 직교성을 활용할 수 있습니다. 즉, COS(theta)를 활용하여 방위각에 대한 함수로 표현한다면 n에 대한 독립적인 함수로 해석이 가능합니다.
• 한계: 그러나, 체비쇼프 다항식은 기본적으로 가중치 함수가 아래와 같으므로,  물리적 의미에서 르장드르 다항식처럼 자연스럽게 등장하지 않습니다.

$$ \frac{1}{\sqrt(1-x^2)}$$

(2) 에르미트 다항식(Hermite Polynomials, Hn(x))

에르미트 다항식은 주로 가우스 함수(Gaussian function)와 관련된 미분 방정식을 풀 때 등장합니다.
$$\quad H_0(x) = 1$$
$$\quad H_1(x) = 2x$$
$$\quad H_2(x) = 4x^2 - 2$$

• 사용 가능성: 에르미트 다항식은 주로 양자역학에서 조화 진동자 문제를 풀 때 쓰이며, 다중극 전개에서는 적합하지 않습니다.
• 한계: 다중극 전개는 구면 좌표계에서 이루어지며, 에르미트 다항식은 주로 가우스 함수와 관련된 문제(선형 시스템)에서 등장하므로 사용하기 어렵습니다.

(3) 라게르 다항식(Laguerre Polynomials, Ln(x))

라게르 다항식은 주로 수소 원자의 파동함수(라게르 방정식)에서 등장하며, 다음과 같은 형태를 가집니다.
$$\quad L_0(x) = 1$$
$$\quad L_1(x) = 1 - x$$
$$\quad L_2(x) = \frac{1}{2}(2 - 4x + x^2)$$

• 사용 가능성: 라게르 다항식은 구면 좌표계가 아닌 극좌표 또는 원자 구조 분석에서 사용됨.
• 한계: 다중극 전개에서는 각도 의존성을 설명하는 함수가 필요하지만, 라게르 다항식은 반지름에 대한 함수이므로 적절하지 않습니다.

즉, 각도 의존성을 설명하기 위해 Sin 혹은 Cos을 사용할 것인데 이를 위해서는 [-1,1] 범위에서 직교성을 가지는 다항식이면 해석에 유리할 것입니다. 또한, 전위 함수 특성 상 거리에 반비례하는 가중치 함수를 갖고 있어야하는데 이 모든 것을 만족하는 함수로는 르장드르 다항식이 가장 적합합니다.

5. 결론

• 르장드르 다항식은 구면 좌표계에서 자연스럽게 등장하며, 다중극 전개에서 필수적입니다.
• 전기장, 중력장, 양자역학에서 핵심적인 역할을 합니다.
• 직교성과 재귀 관계를 통해 효율적인 계산이 가능하며, 물리적 의미를 명확하게 제공합니다.
• 다른 다항식도 존재하지만, 다중극 전개에서는 르장드르 다항식이 가장 적합합니다.

결론적으로, 르장드르 다항식은 전기장과 중력장 해석에서 필수적인 개념이며, 이를 이해하면 물리학의 다양한 문제를 해결하는 데 큰 도움이 됩니다
또한, 르장드르 방정식의 특성을 생각하면 이를 활용할 수 있는 물리적인 해석 사용처도 예상할 수 있습니다.
르장드르 방정식은 각도 의존성을 가진 곳, 즉 구면에 대한 대칭적인 구조 문제에 있어서 핵심적인 역할을 합니다.
 
즉, 중력장이나, 전기장, 다이폴 안테나의 방사패턴, 위도에 따른 온도 변화 해석(유체해석) 등에 사용될 수 있을 것입니다.
또한, 원자의 오비탈 모양도 구면 대칭 구조를 이루고 있기에 전자의 공간적 확률 분포를 설명하는 핵심 방정식으로도 사용됩니다.